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Ver el documento (formato PDF)   Falsetti, Marcela Cristina.  "Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones"  (2001)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En este trabajo abordamos el estudio de algunos tópicos de Geometría Hactal y se presenta en dos partes. Comenzamos con un análisis de aspectos teóricos y prácticos de la dimensión de Hausdorff y de la dimensión de Minskowski, dado que la dimensión es un parámetro esencial para estudiar conjuntos fractales. Usando integración de medidas unidimensionales, se encuentra un método alternativo para el cálculo de la dimensión de Minkowski para cualquier conjunto acotado del plano. Este abordaje es computacionalmente más eficiente que el cálculo directo de la dimensión de Minkowski (see , ). De los conjuntos en general ponemos especial interés en las curvas. Las curvas, y especialmente las “curvas fractales”, son importantes pues modelizan una amplia clase de fenómenos naturales tales como costas geográficas, señales de sonido, etc. El caso de curvas planas ha sido tratado por Tricot (ver ) quien desarrolló un análisis de las mismas basado en parámetros geométricos asociados a conjuntos convexos. La idea es aproximar el engordado de una curva por cápsulas convexas de subarcos y, usando el diámetro y la anchura de dichas cápsulas, obtener una fórmula más simple y eficiente para el cálculo de la dimensión de Minkowski. En este trabajo se realiza un análisis geométrico para. las curvas tridimensionales y se introduce un nuevo parámetro: la anchura secundaria. Se define la clase de curvas expansivas para el caso tridimensional y se encuentra para ellas una fórmula alternativa para calcular dimensión de Minkowski. Finalmente mostramos cómo este abordaje generaliza el desarrollado por Tricot para curvas planas y analizamos las dificultades que aparecen al aumentar la dimensionalidad del espacio de base. En la Segunda Parte presentamos los fundamentos matemáticos de la Compresión Fractal de imágenes. Se revisan los principales modelos matemáticos de compresión fractal que tienen estrecha relación con nuestro trabajo y se explican diferentes modelos para el problema de compresión de imágenes. Estos modelos dependen esencialmente del espacio de representación de las imágenes con niveles de gris: pueden usar medidas o funciones definidas sobre puntos. En particular se analiza el modelo de Codificación por Bloques de J acquin (ver ) y el modelo IFZS (ver ) como ejemplos de uno y otro caso. Se estudia el esquema funcional de Autosimilaridad Generalizada como modelo teórico para resolver el problema inverso para fractales y otros conjuntos. La idea en este caso es la siguiente: dada una función, que representa una imagen o una señal, se quieren encontrar dos conjuntos finitos de funciones i} 1«i«m, y un operador contractivo que los involucra, tal que el punto fijo de ese operador sea una función cercana a la dada. Se presenta un modelo que combina elementos de la Autosimilaridad Generalizada con la codificación por bloques. El mismo permite mayor flexibilidad en la estructura autosimilar de la compresión fractal estandard, un mejor aprovechamiento de la redundacia de la imagen, una completa automatización del algoritmo y control del error de aproximación entre la imagen original y la reconstruida. Por último se muestra la relación entre los modelos funcionales IFZS y de Autosimilaridad Generalizada que están definidos sobre espacios funcionales esencialmente distintos.

Abstract:
This thesis is about Fiactal Geometry and is presented in two parts. Since dimension is an essential parameter to study fractals, in Part I we analyze the theoretical and practical aspects of Hausdorfi dimension and Minskowskidimension. We present a theoretical approach, by using integration of unidimensional measures, for the computation of Minskowskidimension of any bounded planar set. This approach is computationally more efficent than stright computation of the Minkowski dimension (see , ). We are particularly interested in curves. Curves, and specially “fractal curves”, are important because they represent a wide class of natural fenomena such that geographical coasts, sígnals, Brownian motion,etc. Planar curves have been studied by Tricot (see ). He developed an analysis for expansive planar curves based on geometrical parameters associated to convex sets. The main idea is to approximate the e-saussage of a curve by convex hulls of subarcs, obtaining a more simple and eflicient formula for the computation of the Minkowski dimension, by using the diameter and breadth of these convex hulls. In this work we present a geometrical analysis of tridimensional curves and we introduce a new parameter: the secondary breadth. We define the class of expansive curves for the tridimensional case and find an alternative formula for computing he Minskowski dimension. First we need to demonstrate some results about convex sets. We show that this method generalizes the Tricot's approach. In Part II, we present the mathematical foundations of Fractal Block Compression of images. We review the main mathematical models that are closely related to our work and analyze different approaches to the fractal compression problem. They are mainly two possible approaches: the first one uses measures to represent images with grey-levels and the second one uses functions. In particular we review the Block-codingmethod introduced by Jacquin in , as an example of the first approach, and the IFZS method introduced by Cabrelli et al. in as an example of the second one. We study the functional scheme of Generalized Self-Similarity (see and ) as a theoretical model to solve the inverse problem to fractals and other sets. The idea in this case es the following: Given a target function, that represents an image or signal, we must find two finite sets of functions: i} 1«i«m, and a contractive operator that involves these functions, such that the attractor of this operator is a function close to the target. In this thesis we present a model that combines the main ideas of Generalized Self-Similarity and the Block-coding method. It allows more fiexibility in the self-similar structure of standard fractal compression, it takes more advantages of redundancy of the image, and furthemore it enables us to incorporate a complete algorithm automatization and the control of the approximation error. Finally, we show the relation between the IFZS and the Generalized SelfSimilarity models that are defined on essentialy different functional spaces.

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Registro:
Título : Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones     =    Minkowski dimension, self-similarity and applications
Autor : Falsetti, Marcela Cristina
Director : Molter, Ursula María
Año : 2001
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Grado obtenido : Doctor en Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_3419_Falsetti
Idioma : Español
Area Temática : 
Palabras claves : PRIMERA PARTE: GEOMETRIA FRACTAL; DIMENSION DE HAUSDORFF; DIMENSION DE MINKOWSKI; CURVA FRACTAL; CONJUNTO CONVEXO; TAMAÑO; ANCHURA; DESVIACION; ANCHURA SECUNDARIA; CURVA EXPANSIVA; SEGUNDA PARTE: SISTEMA ITERADO DE FUNCIONES; OPERADOR CONTRATIVO; TEOREMA DE PUNTO FIJO; ATRACTOR; TEOREMA DE COLLAGE; MEDIDA INVARIANTE; COMPRENSION FRACTAL DE IMAGENES; SISTEMA ITERADO DE CONJUNTOS DIFUSOS; AUTOSIMILARIDAD GENERALIZADA; CODIFICACION POR BLOQUES; PART I: FRACTAL GEOMETRY; HAUSDORFF DIMENSION; MINKOWSKI DIMENSION; FRACTAL CURVE; CONVEX SET; SIZE; BREADTH; DEVIATION; SECONDARY BREADTH; EXPANSIVE CURVE; PART II : ITERATED FUNCTION SYSTEM; CONTRACTIVE OPERATOR; FIX POINT; ATTRATOR; COLLAFE THEOREM; INVARIANT MEASURE; FRACTAL COMPRESSION OF IMAGES; ITERATED FUZZY SYSTEM; GENERALIZED SELF; SIMILARITY; BLOCK; CODING
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