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Ver el documento (formato PDF)   Bergé, Analía.  "Un estudio de la evolución del pensamiento matemático : el ejemplo de la conceptualización del conjunto de los números reales y de la noción de completitud en la enseñanza universitaria"  (2004)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia la evolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes de nivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemática de la Universidad de Buenos Aires. ¿Qué se quiere expresar con “el estudio de la evolución..."? Los alumnos establecen un primer contacto con los números reales temprano en su escolaridad. En un primer momento los ven en las soluciones de problemas geométricos, como raíces cuadradas, como raíces de polinomios, estudian sus desarrollos decimales, etcétera. Pero más adelante, al comenzar los estudios en el área del análisis matemático, cuando el conjunto de los números reales se vuelve el dominio natural de las funciones, ¿qué conocimientos tienen los alumnos acerca de las propiedades de ese dominio? ¿cuáles son las propiedades que ellos reconocen de este conjunto, sobre las que descansan los aprendizajes en análisis? Ha sido de interés focalizar este estudio en una propiedad del conjunto de los números reales central para el trabajo en esa área: la completitud. La tesis tiene seis capítulos. El primero es un estudio histórico-epistemológico del surgimiento del conjunto de los números reales. Varios investigadores en Didáctica de la Matemática han señalado la relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska & Lerman, 1996), han estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historia a la práctica docente (Bkouche, 1997) y han alertado acerca de la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza (Radford, 1997). El análisis hecho ha llevado a delinear una reconstrucción de la génesis histórica de la noción conjunto de los números reales, ligando problemas y preguntas de determinados períodos históricos con el estado de conocimientos y las herramientas disponibles en esos momentos, y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La manera en la que se ha jugado la correspondencia entre números y puntos de una recta en diferentes periodos de la historia (y más generalmente, como ha evolucionado la relación entre números y magnitudes), cómo era el trabajo de los matemáticos en temas de análisis antes de que la noción de completitud del sistema de los números reales fuera enunciada, qué condiciones hicieron necesaria la formalización de esta noción, cuáles fueron las distintas respuestas que se dieron a este problema y cómo se llega a las formulaciones actuales, son las preguntas que guían este capítulo. Para aportar respuestas, se examinan diferentes momentos particularmente significativos de la historia matemática: el período euclidiano, el intermediario árabe y la Europa Medieval, el desarrollo del cálculo, los comienzos del siglo XIX y la aritmetización del análisis, el fin del mismo siglo que ve diferentes construcciones de un sistema numérico y finalmente la axiomatización de R con los trabajos de Hilbert. En las conclusiones de este capítulo se aborda el papel del método axiomático en matemática y en la enseñanza de las matemáticas, se hace una reflexión alrededor de la evolución del estatuto de una misma afirmación matemática, se analiza la relación modelo matemático —objeto modelizado, que puede representar para el trabajo matemático tanto un punto de apoyo como un obstáculo, y se analiza también la evolución de los argumentos que se consideran suficientes para validar el trabajo matemático. Con este primer capítulo se ha buscado mostrar la complejidad de las relaciones que se han dado a lo largo de la historia entre las nociones de continuidad y de completitud, y los motores principales de las evoluciones, y dar argumentos que faciliten entender la posible existencia de varios tipos de equilibrios cognitivos y niveles de conceptualización acerca de estas nociones, cuidando no caer en una visión ingenua de las relaciones entre ontogénesis y filogénesis. Este estudio también muestra que los comienzos del cálculo y su desarrollo durante tres siglos se llevaron a cabo teniendo como soporte un dominio numérico cuyas propiedades no habían sido explicitadas. La explicitación de esas propiedades supuso transitar una ruptura y una reconstrucción de la noción. La ruptura se produjo en la historia de la matemática como consecuencia de un cambio de racionalidad a partir del cual se reconoció que la base del trabajo matemático había sido empírica, y se deseó superar esa situación. El problema era entonces encontrar cómo expresar la propiedad de completitud. Dedekind encontró una manera, procurando obtener para los números algo análogo a la continuidad de la recta. Para lo cual hubo de precisar —necesariamente como un axioma- en qué consistía dicha continuidad. Cantor por su parte, así como otros matemáticos de la época, expresó la completitud vía la convergencia de sucesiones fundamentales, estableciendo además una correspondencia entre los números y los puntos de la recta y reconociendo el carácter axiomático de dicha correspondencia. Ese fue el sentido que tuvo, para los matemáticos del siglo XIX la construcción de un dominio numérico completo. A lo largo de la tesis se analiza el sentido que tiene para los alumnos y la organización institucional actuales. El segundo capitulo es una puesta al día de las investigaciones didácticas hechas por otros investigadores relacionadas con el tema, y el posicionamiento de la propia problemática. Los trabajos comentados acerca del conjunto de los números reales tratan didácticamente cuestiones vinculadas a la existencia de números irracionales, su desarrollo ilimitado y no periódico, su representación uno a uno en la recta numérica, su aparición en los cálculos de raíces, logaritmos, cálculos trigonométricos, etc. Estas cuestiones están ligadas al hecho de que con los racionales no alcanza para dar respuesta a diversos problemas que aparecen, aun tempranamente, en la escolaridad, y se requiere por lo tanto de la existencia de otros números. Otro nivel de problematización se pone de relevancia al estudiar las propiedades de R cuando se lo ve como el dominio natural del análisis matemático. Éstas se despliegan cuando se sale de lo estrictamente numérico y se trabaja con funciones, sucesiones, etc. y el interés está puesto en fundamentar las afirmaciones y en caracterizar ciertos atributos que tiene R como conjunto. Efectivamente, la completitud no es una propiedad que concierne a un número sino a un conjunto de números. Los trabajos analizados contemplan el primer nivel y no el segundo, que por otra parte es propio de la enseñanza a nivel superior. Más allá de los diferentes marcos teóricos y metodológicos que han sido tomados como referencia en los trabajos, es posible reunir al menos dos puntos de consenso entre ellos. El primero es que en los alumnos de distintos niveles de escolaridad conviven concepciones contradictorias, en cuanto a la densidad, al significado de los desarrollos infinitos, la existencia de números que verifican determinadas condiciones, la irracionalidad, la idecimalidad. Algunas de las investigaciones han mostrado que las mismas nociones funcionan bien en ciertas preguntas y no en otras. El segundo es que la representación de los números en la recta, no contribuye necesariamente a solucionar esas dificultades: muchas veces este objeto suma sus propias dificultades, las investigaciones nos han mostrado que los alumnos conceptualizan de diferentes maneras la recta numérica, por lo cual la referencia a sus atributos y propiedades no es un punto de apoyo seguro, y en algunos casos modifica completamente la problemática en juego. Los trabajos analizados constituyen en cierto modo un mapa de los conocimientos didácticos previosexistentes a esta tesis alrededor de este tema, se han tomado como punto de partida para avanzar en la caracterización de aquello que hace evolucionar las conceptualizaciones de los alumnos en relación con el segundo nivel de propiedades de R que se ha mencionado. El tercer capítulo consiste en el análisis de los aspectos matemáticos y cognitivos vinculados a la completitud de R. En el mismo se profundizan distintas vías matemáticas de entrada y de desarrollo de esa noción, dando lugar a lo que ha sido llamado Panorama Matemático; y se separan ficticiamente los aspectos cognitivos involucrados estructurándolos en seis ejes variables, con el objetivo de modelizar distintos estados de conceptualización de esta noción. Estos ejes vistos globalmente en conjunto con su estado inicial, han recibido el nombre de Panorama Cognitivo. Los mismos no son exclusivos de este concepto, pueden pensarse para otros conceptos matemáticos, pero han podido ser delineados como producto del trabajo realizado sobre la completitud, especialmente del análisis epistemológico. El Panorama Cognitivo consta de seis ejes con un origen en común, como un estado inicial o punto de partida en el cual la completitud es vista como evidente, con un apoyo fuerte en la representación gráfica o mental. A ese nivel la completitud no es identificada como un objeto matemático. Los seis ejes que admiten distintos estados se describen brevemente a continuación. Disponibilidad Técnica: este eje incluye los diferentes grados de dominio técnico sobre los elementos matemáticos, a modo de ejemplo, distintos valores en este eje son : el dominio de demostraciones de teoremas simples en los que se pone en juego la completitud, el manejo de varias caracterizaciones del supremo, el manejo de diferentes maneras de caracterizar la completitud y el conocimiento de su equivalencia, la manipulación de los objetos que le están asociados, como ser, sucesiones, sucesiones de Cauchy, encajes, cortaduras, etc., la completitud de espacios más generales. Instrumentalidad/ Objetivación: este eje valora la percepción de la completitud como una herramienta que posibilita definir números bajo ciertas condiciones, así como su reconocimiento como parte de los objetos que hacen al análisis. Necesidad: Se refiere a la comprensión de un sujeto respecto de la necesidad de incluir el axioma de completitud. De modo más general alguien que percibe que es necesario añadir un axioma para desarrollar una teoría es alguien que ha hecho una reflexión sobre la reorganización de los saberes matemáticos. Valoración/fundamentación: valora el nivel de consciencia de un sujeto acerca de la necesidad de validar en matemática, de lo que es aceptado como válido por su comunidad, de cómo se va modificando lo que es considerado como válido, de cómo esto depende de la institución en la que se lleve a cabo. Flexibilidad: Este eje valora la capacidad de un sujeto de usar una u otra caracterización de la completitud según la tarea a realizar. Posición frente a las construcciones: Este eje valora la comprensión que puede tener un sujeto acerca del sentido de que R sea construido a partir de Q, y acerca del rol de modelo que adquieren esas construcciones con relación a la construcción axiomática. El Panorama Cognitivo fue utilizado como instrumento de análisis en la realización de los últimos tres capítulos. El cuarto capítulo es un Análisis Institucional, que básicamente consiste en el análisis praxeológico (Chevallard, 1998) de cuatro materias y en su puesta en relación con el Panorama Cognitivo. Para su realización se han tenido en cuenta las preguntas siguientes: ¿Qué tipo de apariciones hace la completitud en las tareas, en las técnicas, cómo aparece, cómo se usa? ¿Qué técnicas se utilizan en la resolución de las tareas? ¿Cuánta tecnología y cuánta teoría requieren esas técnicas? ¿Se trata de técnicas que consisten en la aplicación aislada de un teorema o propiedades? En ese caso, la utilización de propiedades ¿“es llamada” desde la formulación de la tarea o permanece implícita? ¿En qué medida es necesario para desplegar la técnica el proceso de demostración de las propiedades o teoremas, en qué medida solamente el enunciado de los mismos? Con respecto al género de tareas y a su formulación, se ha tenido en cuenta si favorecen un funcionamiento del conocimiento más a nivel técnico (“hallar", “resolver”, “calcular”, ítems aislados), a nivel movilizable (“demostrar usando tal resultado", varios ítems secuenciados) o a nivel disponible (“estudiar", “analizar”, “demostrar”, etc.). En el análisis se ha buscado identificar los momentos en los que las técnicas usadas se vuelven insuficientes, así como también los puntos de equilibrio, las continuidades, rupturas y falsas continuidades. Con respecto al grado de problematización de aquello que parece evidente u observable, se tomó en cuenta la presencia de tareas que involucran un trabajo de demostración de propiedades o resultados “observables”, “evidentes” y en qué medida hay una problematización. Se analizó el papel de las representaciones utilizadas. Se hizo una interpretación de a qué parte del Panorama Matemático parece apuntar cada materia, y se analizó en qué medida las tareas contribuyen a hacer evolucionar los ejes del Panorama Cognitivo. El estudio praxeológico muestra que el tipo de tareas que llevan a cabo los alumnos en la primera materia de análisis matemático en Ia universidad en relación a la completitud, se apoya tanto en las representaciones y en la información que éstas proveen como en el uso de teoremas fuertes de cuya fundamentación pueden no preocuparse. Los alumnos en este nivel operan como si las propiedades se verificasen naturalmente, la fundamentación de las mismas les resulta un problema externo. La completitud permanece entonces en estado de preconstrucción, su explicitacíón no es requerida ni utilizada en los problemas y ejercicios. El análisis praxeológico en relación a las otras materias analizadas muestra que hay una ruptura de contrato didáctico que se produce al pasar a Análisis I de Exactas, en donde, las representaciones ya no constituyen un soporte para las argumentaciones, pero el tipo de tareas en relación a la completitud es esencialmente la misma que en la materia anterior. Los alumnos no comprenden las razones de este cambio en la medida que no se les plantean nuevas tareas en relación con este tema, asumen que deben demostrar más debido a la exigencia de sus docentes que por ser algo interesante para ellos desde el punto de vista matemático. En la materia Complementos de Análisis II hay ejercicios en los que aparecen el supremo y el ínfimo en carácter de objeto (equivalencia entre distintas definiciones, aritmética de supremos e íntimos) y también en un rol más instrumental al definir distancias. En Cálculo Avanzado hay un ejercicio en el que hay que demostrar la equivalencia entre diferentes caracterizaciones de la completitud de R, y hay ejercicios clásicos de espacios métricos completos, que pueden ser hechos sin que eso involucre hacer una reflexión. Del análisis hecho se desprende que los ejes Necesidad, Flexibilidad y Posición frente a las construcciones quedan vacantes desde la oferta de la institución, quedando, si esto ocurre, reservados para el trabajo privado del alumno. Los capitulos quinto y sexto constituyen la parte experimental de esta tesis. El quinto contiene los análisis a priori y a posteriori de varias entrevistas clínicas hechas a alumnos de las materias Análisis I, Complementos de Análisis II y Cálculo Avanzado, con el objetivo de identificar su rapport personal a la completitud (Chevallard, 1992) en términos del Panorama Cognitivo y de ponerlo en relación con los resultados del Análisis Institucional. Las preguntas que sirvieron de guión para las entrevistas tenían como objetivo acceder a: en qué medida los estudiantes piensan que es necesario demostrar el Teorema de Bolzano, y en qué medida consideran que la completitud es una herramienta necesaria para probarlo; qué piensan los estudiantes acerca de qué es la completitud, con qué problemas, teoremas, ejercicios la relacionan y cómo evoluciona esta visión a medida que avanzan por las materias; cómo interpretan el hecho de que hay distintas maneras de introducir la completitud y si las tienen disponibles; cómo interpretan el estudio de las construcciones por cortaduras de Dedekind o por sucesiones de Cauchy y cómo lo relacionan con sus conocimientos previos sobre R. El sexto capítulo releva las respuestas dadas por escrito por la mayoría de los alumnos de Análisis I, Complementos de Análisis II y Cálculo Avanzado a dos preguntas: cómo explicaría a un alumno más joven el hecho de que una sucesión creciente y acotada de números reales tiene límite y qué interpreta por completitud de R. La parte experimental que hemos llevado a cabo en este estudio muestra que la resolución de los ejercicios correspondientes a las materias y la aprobación de los parciales no alcanza para hacer que los alumnos perciban a la completitud como una condición necesaria para desarrollar el análisis matemático. Entender la completitud como una propiedad o un axioma que responde a un verdadero problema requiere situarse en cierta perspectiva que no es la mas natural, requiere también de una reflexión que no surge espontáneamente de la resolución de los ejercicios, y no parece propia de la posición de estudiante. Para la mayoría de los alumnos el hecho de hacer los problemas y ejercicios típicos de supremo no tiene por consecuencia la comprensión de que R se distingue por ser el conjunto que contiene todos los supremos de sus subconjuntos superiormente acotados. Pocos alumnos pueden percibir que las sucesiones de Cauchy provienen de la necesidad de caracterizar el tipo de sucesiones que es preciso que converja para poder desarrollar el análisis y que la completitud del conjunto tiene que ver con que el límite pertenezca al conjunto. Poquísimos encuentran sentido en la construcción de R por cortaduras de Dedekind o por sucesiones de Cauchy, y en general cuando lo encuentran, es para considerar el rol de modelo del sistema axiomático que describe a los reales. Las construcciones quedan entonces, un poco desprovistas de sentido. Uno de los objetivos de la parte experimental era identificar el rapport personal de los alumnos a la completitud en términos del Panorama Cognitivo. - El eje de Disponibilidad Técnica es el que queda menos indagado en esta tesis, por no haber incluido explícitamente en las entrevistas preguntas con resoluciones concretas, salvo el pedido a cuatro de los cinco entrevistados de Cálculo Avanzado de demostrar el teorema de Bolzano. Del estado de esos alumnos sobre este eje se puede decir que la noción de completitud no está muy presente para los alumnos a la hora de hacer esa demostración. - Con respecto al eje Instrumentalidad / Objetivación, en particular, en relación al carácter de objeto, hemos encontrado tres tipos de respuestas: respuestas dadas en términos de imágenes o representaciones, respuestas en términos de propiedades que R verifica aunque no caracterizan verdaderamente al conjunto ni son equivalentes a la completitud, respuestas en las que se caracteriza a R y a la completitud correctamente. Alumnos de las tres materias responden en términos de imágenes y en términos de propiedades que no caracterizan la completitud, en el caso de las últimas dos materias también hay respuestas en términos de ciertas propiedades que si la caracterizan: el axioma de supremo en el caso de los alumnos de Complementos y la existencia de limite de sucesiones de Cauchy en el caso de algunos alumnos de Cálculo Avanzado. La concentración de las respuestas en términos de estas últimas dos caracterizaciones es coherente con el análisis praxeológico. Queda un poco débil el carácter de objeto de la completitud por parte de los alumnos de Cálculo Avanzado, de quienes puede esperarse que tengan disponible una mayor cantidad de caracterizaciones. Parece particularmente interesante el caso de un alumno de Cálculo Avanzado, quien nos resulta un buen exponente del hecho que hacer los ejercicios de las prácticas y aprobar los parciales no necesariamente requiere ni implica que se haga una reflexión sobre lo que se está haciendo. Este alumno ha trabajado mucho con el axioma de supremo, con la propiedad de encaje, con sucesiones de Cauchy, solo por el hecho de haber hecho las prácticas de Complementos de Análisis II y de Cálculo Avanzado, pero eso no alcanza para que pueda identificar las completitud de R, ni siquiera puede decir qué es R. Con respecto al carácter de instrumento, no se ve una tendencia al avanzar con las materias en cuanto a la identificación de la completitud como herramienta necesaria en la demostración del teorema de Bolzano. También en este caso queda un poco débil el carácter de instrumento de la completitud por parte de los alumnos de Cálculo Avanzado. Nos parece pertinente relacionar esta “debilidad” con la manera en la que se expresan los alumnos en varios tramos de las entrevistas: las caracterizaciones en términos de imágenes o la idea de “completo es que no tiene huecos” para referirse a la completitud así como también la idea de “acercarse”, son un reflejo débil y no operacional de definiciones matemáticas que no favorece el trabajo matemático, aun si en parte este lenguaje pudo haber sido inducido por la situación no muy formal de entrevista. - Las posiciones sobre el eje de Necesidad fueron indagadas solamente a alumnos de Cálculo Avanzado. Las distintas caracterizaciones de la completitud no son vistas por todos los alumnos como una condición necesaria para definir a R, en algún caso no se las vincula con R, en otros casos son vistas como una condición que R verifica, en otros casos son vistas como una parte constitutiva de la definición de R. - El acceso al eje Validación/Fundamentación estuvo dado fundamentalmente dado por las respuestas a la pregunta que esencialmente indagó sobre los motivos por los cuales demostrar el teorema de Bolzano y los posibles usos de la demostración. Los alumnos de las tres materias manifestaron que en algún momento de su formación vieron como obvio este teorema, y la pregunta nos permite conocer en qué medida y cómo fueron ellos saliendo de esa situación. La heterogeneidad de las respuestas hace dificil estructurar este eje en términos de distintos niveles por materia. Esencialmente hemos encontrado tres tipos de respuestas en relación a este eje: demostrar “porque es lo que se debe hacer” (privilegiando el aspecto normativo), demostrar para convencer o convencerse separándose de la representación, demostrar para comprender la matemática en juego. Podemos suponer que el orden de estos tipos de respuesta es un orden que muestra una evolución en la racionalidad, y sería esperable que el paso por las materias siguiera esa tendencia. No es ese el resultado que obtuvimos. La mayoría de las respuestas de las tres materias están repartidas en los dos primeros tipos. Muy pocas respuestas (una por cada materia) dan razones que nos hacen ubicarlos en “demostrar para comprender mejor”. Hay varios alumnos, aun avanzados que no saben por qué es necesario demostrar el teorema de Bolzano. - No hubo suficientes respuestas que nos permitan establecer estados para el eje Flexibilidad, pero sí es interesante un pasaje de entrevista en el que se muestra que la declaración por parte de uno de los entrevistados de dos formas de expresar la completitud de R (vía el axioma de supremo y via la convergencia de sucesiones de Cauchy) no basta para que él suponga que esas dos formas son condiciones matemáticamente equivalentes. - Como tema de estudio, las construcciones de R fueron parte de los contenidos de la materia Cálculo Avanzado. Para los alumnos las construcciones cumplen roles diferentes, que reflejan distintas posiciones de la comunidad de docentes y matemáticos: en un caso parecen quedar al margen de lo que hay que saber para aprobar los trabajos prácticos de la materia, en otros se toma a las construcciones como un modelo para el sistema axiomático que define a R, en otros se recupera el sentido de construir un conjunto que sea completo. En este último caso es más fácil separarse de una visión natural y preconstruida de R y comprender el papel del axioma de completitud, que en la versión que sea dada, habilita esencialmente a definir números bajo ciertas condiciones. Otro de los objetivos de la parte experimental era analizar si subsisten las contradicciones detectadas por otros investigadores y caracterizar el conjunto que los alumnos creen utilizar. El análisis de las respuestas en entrevistas muestra claramente que muchos alumnos, casi la mitad de los entrevistados de las tres materias, asocian la noción de continuo y de completitud con la de densidad. En el caso de alumnos más avanzados ante una repregunta recuperan la respuesta, en el caso de alumnos principiantes una repregunta puede servir para poner en evidencia la confusión pero no necesariamente alcanza para remediar la situación. Hay otros casos un poco más aislados, a modo de ejemplos, para uno de los alumnos de Cálculo Avanzado alcanza con los números algebraicos para desarrollar el análisis, otro alumno duda acerca de si la completitud podría ser equivalente a densidad más no numerabilidad... estas ideas que tienen los alumnos conviven con muchas otras buenas ideas. La experimentación presentada en el Capitulo VI permite afirmar en primer lugar, que la gran mayoría de alumnos de Análisis I y una proporción importante de alumnos de Complementos de Análisis II parecen no identificar la completitud en el enunciado “toda sucesión creciente y acotada converge”, más bien parecen percibirlo como un enunciado evidente. Esto puede estar ligado al hecho de que los alumnos pueden usar teoremas fuertes derivados de la completitud, y en consecuencia no la enfrentan de modo personal. Del análisis de las dos preguntas, se puede afirmar que la mayoría de los alumnos de Complementos de Análisis II expresan la completitud de un modo que no resulta operatorio: o mediante el uso cotidiano de la palabra completo, o mediante imágenes. Este resultado muestra un desfasaje con las praxeologías a las que los alumnos se enfrentan. Será interesante pensar que tipo de ejercicios y problemas pueden generar la necesidad de adquirir otras caracterizaciones que sí sean operatorias y cómo favorecer la capacidad de reflexión y síntesis sobre lo hecho. Entre los alumnos de Cálculo Avanzado, la existencia de límite de sucesiones de Cauchy, es la caracterización de la completitud que aparece con más frecuencia, respuesta que interpretamos ocurre debido a que los alumnos han trabajado con la completitud de espacios métricos generales y pueden entonces reconocer esa característica de R. Esta tesis es un lugar en donde se ha estudiado didácticamente algo mas amplio que el aprendizaje de R y su completitud: R es un contexto, un lugar en donde estudiar un tipo de racionalidad matemática y su evolución. Cuando se habla de racionalidad, se piensa en abarcar el grado de reflexión y profundización de un sujeto sobre la matemática como disciplina, sus motores de producción, sus elementos de validación y sus modos de comunicación. Se ha elegido especialmente este contenido (la completitud de R) porque está implicado en muchas instancias que hacen a la formación de un matemático y de un profesor de matemática. Y más allá de el estudio de R, sus propiedades reflejan principios más generales que atraviesan toda la matemática: la construcción de objetos por la aproximación de otros de tipo particular, la completación de espacios métricos, la individualización de un elemento mediante un encaje, la realización de extremos, etc. El tipo de análisis y estudio llevado a cabo en esta tesis no es estadístico, es un estudio cualitativo que muestra las sutilezas de los fenómenos ligados a la enseñanza y el aprendizaje. Los alumnos entrevistados son pocos en número pero en sus respuestas se ve que aunque aprueban parciales exigentes, y lo hacen con buenas notas, dudan a la hora de saber por qué demostrar, confunden en un primer momento las nociones de densidad y completitud, sostienen que con los de “aproximarse”, es decir de plantear la distancia entre dos objetos menor que algún valor positivo. números algebraicos alcanza para desarrollar el análisis, utilizan expresiones para referirse a los objetos que no les favorece avanzar en lo operacional, no reconocen el sentido de la equivalencia de dos enunciados, aunque la hayan demostrado... Esto no debe interpretarse como una crítica al sistema, sino como un estudio que muestra la complejidad de ese sistema, poniendo de relevancia la existencia de varios estadios en la adquisición de las nociones, y varios tipos de equilibrios cognitivos conviviendo en el mismo sujeto mientras aprende.

Abstract:
In this thesis, framed within the field of Didactics of Mathematics, the evolution in the conceptualization of the real numbers set is studied in a group of students at a university level. The university courses of Licentiate and Professor in Mathematics of the University of Buenos Aires were taken as reference. What do we mean by “study of evolution”....? Students establish a first contact with real numbers early along their scholastic path. At the beginning, they come accross real numbers in the solutions to geometrical problems, as square roots, polinomial roots, by studying their decimal development, etc. Though further on, when studies in mathematical analysis start, when the real numbers set turn into the natural domain of the functions, what knowledge do students have regarding the properties of this domain? Which are the properties students recognize in this set on which analysis learning lies? It was interesting to focus this study within a property of real numbers set essential to carry out analysis work: completeness. The thesis has six Chapters. The first one is a historic-epistemological study about the emergence of the real numbers set. Several researchers about Didactics of Mathematics have pointed out the relevance of epistemological analysis in the didactic analysis, its potentiality and scope (Artigue, 1990, 1992, 1995); they have analysed the relationship among epistemology, mathematics and education (Sierpinska & Lerman, 1996); they have studied certain specific contributions to the knowledge of history of educational practice (Bkouche, 1997) and have warned about the naive use of history of mathematics in teaching (Radford, 1997). The analysis performed allowed a delineation of a reconstruction of the historical genesis about the notion of real numbers set linking problems and questions of specific historical periods with the state of knowledge and available tools in those times, and to the different generated conceptualizations. The leading questions to this chapter are: in which way the correspondence between numbers and points in a line was performed along different historical periods (and more generally, how the relationship between numbers and magnitudes has evolved); how the work of mathematicians in analysis was before the notion of completeness of the real numbers set was stated; which conditions made necessary the formalization of this notion; which were the different answers given to this problem and how present formulations are reached. In order to contribute with answers, different moments particularly significant in the history of mathematics have been examined, such as the Euclidian period, the intermediate Arab period and the Mediaeval European one, the development of calculus at the beginning of the XIXͭͪ century and the arithmetization of the analysis, the end of the same century that sees different constructions of a numerical system, and finally the R axiomatization in Hilbert’s works. In the conclusions to this chapter, the role that the axiomatic method has played in mathematics as well as in the teaching of mathematics are broached; a reflection is made regarding the evolution of the statute of the same mathematical affirmation, the relationship between mathematical model-modelled object that may represent a fulcrum as well as an obstacle are analysed as well as the evolution of the arguments that are considered sufficient to validate the mathematical work. In this chapter we have attempted to show the complexity of relationships arisen along history between the notions of continuity and completeness, and the main engines of its evolution, and also, to establish arguments that case the understading of the feasible existence of different types of cognitive balances and conceptualization levels regarding these notions, avoiding to fall in a naive view of the relationships between ontogenesis and phylogenesis. Also, this study shows that the beginning of calculus and its development along three centuries were carried out being supported by a numerical domain which properties had not been made explicit. The explanation of these properties assumed to pass through a rupture and reconstruction of the notion. The rupture occurred in the history of mathematics as a consequence of a change in rationality from which the basis of the mathematical work as empirical was recognized and the wish to overcome this situation thus arose. Then, the problem was to find how to express the property of completeness. Dedekind found a way to do so by trying to obtain for numbers something analogous to the continuity of the line. To achieve this he had to specify — necessarily as an axiom- what was the meaning of this continuity. At his turn, Cantor as well other mathematicians of the time, stated completeness by means of the convergence of fundamental sequences, likewise stating a correspondence between numbers and the points of the line and recognizing the axiomatic character of this correspondence. This was the sense that the construction of a complete numerical domain had for the mathematicians of the XIXͭͪ century. Along this thesis the sense that it has, at present, for students as well as for the institutional organization is analyzed. The second chapter updates the didactic researchs performed by other researchers related to the subject, and the position of our own problematics. The works of reference about the real numbers set didactically deal with matters related to the existence of irrational numbers, their ilimited and nonperiodic development, their one-by-one representation along the numerical line, their appearance in root calculation, logarithms, trigonometric calculus, etc. These matters are linked to the fact that the rational numbers are not sufficient to give answers to the different problems that arise early still in scholastic learning and, the existence of other numbers is therefore required. Another level of problematization becomes relevant when studying R properties regarded as the natural domain of mathematical analysis. These are displayed when one is outside the strictly numerical field and works with functions, sequences, etc., and the interest lies on demonstrating the affirmations and characterizing certain attributes that R has as a set. Certainly, completeness is not a property that a number but a set of numbers have. Analyzed works behold the first and not the second level, which, on the other hand, is specific of teaching at a higher level. Beyond the different theoretical and methodological frames taken as a reference in the works, it is possible to gather at least two points of consensus between them. The first one is that the students at different scholastic level coexist with contradictory conceptions regarding density, meaning of infinite development, existence of numbers that verify certain conditions, irrationality, non-decimality. Some researches have shown that the same notions work well in certain answers and not in others. The second one is that the representation of numbers on a line does not necessarily contribute to solve these difficulties: many times this object adds its own difficulties, and research has shown that students conceptualize the numerical line in different ways, therefore the reference to its attributes and properties is not a safe support, and in some cases, it completely modifies the problematics into play. In a certain way, the analysed works represent a map of didactical knowledge about this matter previous to this thesis. They were taken into account as starting point to proceed to the characterization of those elements that make evolve students’ conceptualizations about the above mentioned second level of R’s properties. The third chapter consists on the analysis of the mathematical and cognitive characteristics linked to R completeness. In it, the different mathematical input and development means of this notion are deepened, giving place to what has been named the Mathematical Panorama; and the involved cognitive characteristics are divided and restructured in six variable axes to model different conceptualization states of this notion. Globally, these axes together with their initial state have been named as Cognitive Panorama. These axes are not exclusive of this concept, they can be applied to other mathematical concepts, though they were delineated as the result of the work performed about completeness, mainly from the epistemological analysis. The Cognitive Panorama has six axes with a common origin, as an initial state or starting point where completeness is seen as evident, with a strong support in the graphic or mental representation. At this level, completeness is not identified as a mathematical object. The six axes that allow different states are briefly described herein after. Technical Availability: this axis includes different degrees of technical domain about mathematical elements, e.g., different values on this axis are: the domain of demonstration of simple theorems where completeness is in play, several handling characterizations of the supremum, handling of different ways to characterize completeness and knowledge of its equivalence, handling of objects associated to it such as sequences, Cauchy sequences, nested intervals, Dedekind’s cuts, etc., completeness of more general spaces. Instrumentality/Objectivation: this axis estimates the perception of completeness as a tool that allows to define numbers under certain conditions as well as its recognition as a part of the objects of the analysis. Necessity: it refers to the understanding a subject has, regarding the need to include the completeness axiom. In a more general way, somebody that perceives that it is necessary to add an axiom to develop a theory is somebody who has carried out a reflection about the reorganization of mathematícal knowledge. Validation/Fundamentation: it estimates the level of conscience of a subject regarding the need to validate in mathematics, of what is accepted as valid in his community, of how what is considered as valid is being modified, of how this depends upon the institution it carries it out. Flexibility: this axis estimates the capacity of a subject to use one or other completeness characterization in accordance with the task to be developed. Position in front of constructions: this axis estimates the understanding of the subject regarding IR meaning whether it is constructed from Q, and about the model role that those constructions attain in relation with axiomatic construction. The Cognitive Panorama was used as an analysis tool when writing the last three Chapters. The fourth chapter is an Institutional Analysis that basically consists in the praxeological analysis (Chevallard, 1998) of four subjects and their relationship with the Cognitive Panorama. To perform this, the folowing questions were taken into account: What type of appearances do completeness make in the tasks —technical ones? How does it appear? How is it used? Which techniques are used to solve tasks? How much technology and theory do those techniques require? Do these techniques consist on the isolated application of a theorem or properties? If so, is the use of properties “called” from the formulation of the task or does it remain implicit? Up to what extent is it necessary the demonstration process of properties or theorems in order to display the technique? Up to what extent only their enunciation? With regard to the gender of tasks and their formulation it has been taken into account if they favor the performance of knowledge at a more technical level (“find”, “solve”, “calculate”, isolated items), at a mobilizable level (“demonstrate using that result", several sequenced items) or as an available level (“study”, “analyse”, “demonstrate”, etc.). In the analysis, the moments when the techniques used become insufficient as well as the points of balance, continuities, ruptures and false continuitites have been attemped to be identified. Regarding the degree of problematization of that which seems evident or observable, tasks involving a demonstration work of properties or results that are “observable”, “evident”, were taken into account as well as up to what extent is there a problematization. The role of used representations was analyzed. An interpretation of to which part of the Mathematical Panorama every subject aims was performed, and the extent up to which the tasks contribute to make evolve the axis of the Cognitive Panorama was analyzed. The praxeological study shows that the type of tasks performed by the students in the first subject of the mathematical analysis at the university in relation to completeness lies on representations and the information they provide as well as on the use of strong theorems which principles are not a concern for them. Students at this level work as if the properties verify naturally, their fundamentation is an external problem. Then, completeness remains in a pre-construction state, its explicit explanation is neither required nor used in problems and practices. The praxeological analysis in relationship with the other analyzed subjects shows that there is a breach in the didactic contract that arises when passing to Analysis l of Exact Sciences, where representations are not longer a support for arguments though the type of tasks regarding completeness is essentially the same as in the previous subject. The students do not understand the reasons of this change to the extent that no new tasks are required regarding this subject, they assume that they have to demonstrate more due to their teachers’ demands instead of being something interesting for them from the mathematical point of view. In the subject Complements of Analysis II there are exercises where the supremum and the infimum appear as object (equivalence among different definitions, arithmetic of supremums and infrmums), and a more instrumental role when defining distances. In Advanced Calculus there is an excercise in which the equivalence among different characterizations of R completeness must be demonstrated, and there are classical exercises of complete metric spaces that can be performed without doing a reflection. From the analysis carried out we have two axes, Necessity, Flexibility and Position before constructions that are left vacant from the offer of the institution, if so, they are set aside for the student’s private work. Chapters fifth and sixth involve the experimental pan of this thesis. The fifth chapter bears the a priori and a posteriori analyses of several clinical interviews carried out with students from Analysis l, Complements to Analysis II and Advanced Calculus, with the purpose of identifying their personnal rapport regarding completeness (Chevallard, 1992) in terms of the Cognitive Panorama and to verify this with the results from the Institutional Analysis. The questions that guided the interviews had as objective to approach the following matters: up to what extent students think it is necessary to demonstrate Bolzano’s Theorem, and up to what extent they consider completeness as a necessary tool to test it; what do the students think about completeness; with which problems, theorems, practice do they relate it and how this view evolves along their progress per subject; how to interpret the fact that there are different ways to introduce completeness and if they have them available; how is the study of construction by Dedekind’s cuts or by Cauchy’s sequences understood and how do they relate them with their preceding konwledge about R. The sixth chapter surveys the answers given on writing by the majority of the students from Analysis l, Complements of Analysis II and Advanced Calculus to the following two questions: How would you explain to a younger student the fact that an increasing and limited sequence of real numbers has a limit? What do you interpret by IR completeness? The experimental part that we have carried out in this study shows that solving the corresponding excercises and the approval of midterm examinations are not sufficient enough to make the students become aware of completeness as a necessary condition to develop mathematical analysis. Understanding completeness as a property or axiom that answers to a genuine problem demands the student to place himself in a certain perspective that is not the most natural one, it also requires a reflection that does not arise spontaneously from solving excercises and it does not seem to belong to the student’s position. For the majority of the students the fact of solving typical problems and excercises of the supremum does not mean the understanding that R outstands for being the set that contains all the supremums of its sub-sets superiorly limited. Few students can perceive that Cauchy’s sequences come from the need for characterizing the type of sequences that is necessary to make converge in order to develop the analysis and that the completeness of the set means that the limit belongs to the set. A small number of students find sense in R construction by means of Dedekind’s cuts or Cauchy’s sequences, and, in general, when they find a meaning is to consider the role of model of the axiomatic system that describes real numbers. Therefore, constructions remain partially devoided of meaning. One of the objectives of the experimental part was to identify the student’s personal rapport regarding completeness in terms of the Cognitive Panorama. - The axis of Technical Availability is the least ascertained one, since questions with precise resolutions were not explicitly included in the interviews, except for the request to four of the five interviewed students of Advanced Calculus to demonstrate Bolzano’s theorem. From the student’s state regarding this axís we can say that completeness notion is not present for them at the time of performing a demonstration. - Regarding the Instrumentality/Objectivation axis, mainly, in relation with the object character, we have found three types of answers: answers given in terms of images or representations; answers given in terms of properties verified by R though they neither characterize truthfully the set nor they are equivalent to completeness, and answers where R and completeness are correctly characterized. Students from the three subjects answer in terms of images and properties that do not characterize completeness; in the case of the last two subjects there are also answers in terms of certain properties that do characterize it: the supremum axiom in the case of students of Complements and limit existence in Cauchy’s sequences in the case of some of the students of Advanced Calculus. The concentration of answers in terms of these two last characterizations is coherent with the praxeological analysis. The object character of completeness is a little weak in the students of Advanced Calculus, of whom we can expect to have a greater amount of available characterizations. It seems particularly interesting the case of a student from Advanced Calculus who is a good example of the fact that doing practice excercises and passing midterm examinations necessarily does neither require nor implies that a reflection is performed about what he is doing. This student worked really hard on the supremum axiom, with the nested intervals property, with Cauchy’s sequences, only from the fact of having carried out the practices of Complements of Analysis II and Advanced Calculus, though this is not enough for him to identify R completeness, and he could not even say what R is. Conceming the instrument character, a tendency to progress in the subjects with regard to completeness identification as a necessary tool in the Bolzano’s theorem is not observed. Likewise, in this case, the instrument character of completeness in students from Advanced Calculus is also a little weak. We find relevant to relate this “weakness” to the way in which students express themselves in several sections of the interviews: characterizations in terms of images or ideas such as “complete means that it has no voids” when referring to completeness, as well as the idea of “approaching”, replicate weakly and not operationally mathematical definitions that do not favor mathematical work, still if in part this language could have been induced by the non-formal situation of the interview. - The position about the Necessity axis were checked up only in students from Advanced Calculus. The different characterizations of completeness are not viewed by all students as a necessary condition to define R, in some cases they are not linked to R, in other cases they are seen as a condition verified by R, and still in others are considered as a constituent part of IR definition. - The way towards the Validation/Fundamentation axis was attained basically from the answers to the question that essentially investigated the reasons by which demonstrate Bolzano’s theorem and the feasible uses of that demonstration. Students from the three subjects expressed that at some point of their university training they considered obvious this theorem, and the question allows us to know up to what extent and how were they coming out of this situation. The heterogeneity of the answers turns difficult the structurization of this axis in terms of different levels per subject. Essentially we have found three types of answers with reference to this axis: demonstrate “why is it what should be done” (by privileging the normative characteristic), demonstrate to convice others or convince yourself by detaching from the representation, demonstrate to understand the mathematics in play. We can assume that the order of these types of answers is an order that shows an evolution of rationality, and it could be expected that the pass along the subjects followed this tendency. This was not the result obtained. The majority of the answers from the three subjects are distributed in the two first types. Very few answers (one per each subject) state the grounds to locate them within “demonstrate for a better understanding”. There are several students, still the advanced ones, that do not know why it is necessary to demonstrate Bolzano’s theorem. - There were not enough answers that allowed us to establish states for the Flexibility axis though it is interesting a passage of interview where a declaration by one of the interviewed students is depicted, two ways of expressing R completeness (by means of the supremum axiom and by means of the convergence of Cauchy’s sequences) are not suffice for him to assume that they are mathematically equivalent conditions. - As study subject the R constructions were a part of the contents of Advanced Calculus. For the students, construction plays different roles reflecting different positions in the community of teachers and mathematicians: in one case they seem to stay out from what is the required knowledge to pass work assignments of the subject; in other cases, constructions are taken as a model for the axiomatic system defining R; and still in others, the sense of constructing a complete set is recovered. In the latter is much easier to separate from a natural and preconstructed view of R and understand the role of the completeness axiom, that in the given version allows essentially to define numbers under certain conditions. Another objective from the experimental part was to analyse if the contradictions detected by other researchers remain and characterize the set the students believe they are using. The analysis from the answers in the interviews clearly shows that many students, almost half of the interviewed ones from the three subjects, associate this notion of continuum and completeness with density. In the case of more advanced students, by a new question, they recover the answer; in the case of beginners a new question may work to put in evidence the confusion though not necessarily remedies the situation. There are other more isolated cases, for example, for one of the students of Advanced Calculus algebraic numbers are enough to develop the analysis; other students doubt about if completeness could be equivalent to density plus not numerability these ideas from the students coexist with many other good ideas. The experimentation set out in Chapter VI allows to assert, in the first place, that the great majority of students from Analysis I and an important proportion of students from Complements to Analysis II seem not to identify completeness in the enunciation “every increasing and limited sequence converges”; it seems though they recognize it as an evident enunciation. This can be linked to the fact that the students may use strong theorems derived from completeness, and in consequence, they do not face it in a personal way. From the analysis of the two question we can assert that the majority of the students from Complements of Analysis II express completeness in a way that it is not operative: or by means of the daily use of the word complete, or by means of images. This result shows a nonsynchronicity with the praxeologies faced by the students. It will be interesting to think what type of excercises and problems may generate the need to acquire other characterizations that will be operative and how to favor the reflection and synthesis capacity about what has been done. Among the students from Advanced Calculus, the limit existence in Cauchy’s sequences is the completeness characterization that appears more frequently; we interpret that this answer arises due to the fact that the students have worked with completeness in general metric spaces and can recognize this R characteristic. In this thesis we have didactically studied something larger than the learning of R and its completeness: R is a context, a place where to study a type of mathematical rationality and its evolution. When speaking about rationality it is thought to encompass the degree of reflection and deepness of a subject regarding mathematics as a discipline, his production engines, his validation elements and his ways of communication. This content has been specially chosen -R completeness since it is included in many instances along a mathematician’s and a mathematics professor’s training. And further than the study of IR, its properties reflect more general principles that go through all mathematics: the construction of objects by approximation of other objects of a particular type; the completition of metrical spaces, the individualization of an element by means of a nested sequence of closed sets, the attainment of extremes, etc. The type of analysis and study carried out in this thesis is not an statistical one, it is a qualitative study showing the subtleties of phenomena linked to teaching and learning. Interviewed students are few in number though by their answers we can see that notwithstanding they pass demanding midterm examinations while achieving good grades, they hesitate at the time of demonstration wondering why should they do so; they are confused, at a first instance, about the notions of density and completeness; they affirm that with algebraic numbers is enough to develop the analysis; they use expressions to refer to objects that do not favor a progress in their Operational process; they do not recognize the sense of equivalence of two enunciations, despite the fact they had demonstrated them. This should not be understood as a criticism to the system but as a study that shows the complexin of this system, highlighting that there are several stages in the acquisition of notions, and several types of cognitive balances coexisting in the same subject while learning takes place.

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Registro:
Título : Un estudio de la evolución del pensamiento matemático : el ejemplo de la conceptualización del conjunto de los números reales y de la noción de completitud en la enseñanza universitaria     =    A study about the evolution of the mathematical thought : example of the conceptualization of the real numbers set and completeness in university teaching
Autor : Bergé, Analía
Director : Artigue, Michele
Año : 2004
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Grado obtenido : Doctor en Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_3718_Berge
Idioma : Español
Area Temática : 
Palabras claves : ANALISIS EPISTEMOLOGICO; ANALISIS INSTITUCIONAL; COMPLETITUD DE IR; DIDACTICA; RAPPORT PERSONAL; IR COMPLETENESS; EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS; INSTITUTIONAL ANALYSIS; DIDACTICS AND PERSONAL RAPPORT
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