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Ver el documento (formato PDF)   Galicer, Daniel E..  "Productos tensoriales simétricos: teoría métrica, isomorfa y aplicaciones"  (2012)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
Esta tesis tiene como objeto contribuir al desarrollo de la teoría métrica e isomorfa de productos tensoriales simétricos en espacios de Banach. Mostramos varios ejemplos donde la teoría de ideales de polinomios homogéneos resulta enriquecida con el uso de técnicas tensoriales. Probamos que la extensión de Aron-Berner preserva la norma para todo ideal maximal y minimal de polinomios homogéneos. Este resultado puede interpretarse como una versión polinomial de uno de los “Cinco Lemas Básicos” de la teoría de productos tensoriales. Más aún, enunciamos y probamos análogos simétricos de dichos lemas y damos, a lo largo del texto, varias aplicaciones. Estudiamos las cápsulas inyectivas y projectivas de una norma tensorial simétrica, analizando sus propiedades y relaciones. Describimos los ideales de polinomios maximales asociados a dichas normas en términos de ideales de composición e ideales cocientes. Examinamos las normas naturales de Grothendieck en el n-ésimo producto tensorial simétrico y mostramos que, para n ≥ 3, hay exactamente seis de ellas, a diferencia del caso n = 2 donde hay cuatro. Definimos la propiedad de Radón-Nikodym simétrica para normas s-tensoriales y mostramos, bajo ciertas hipótesis, que los ideales de polinomios maximales asociados a normas con dicha propiedad coinciden isométricamente con su núcleo minimal. Como consecuencia, probamos la existencia de ciertas estructuras en algunos ideales de polinomios clásicos (existencia de bases o la propiedad de Radon-Nikodym). Por otra parte, damos una demostración alternativa del hecho que el ideal de los polinomios integrales coincide isométricamente con el ideal de los polinomios nucleares en espacios Asplund. Analizamos la existencia de bases incondicionales en ideales de polinomios. Para esto, estudiamos incondicionalidad en productos tensoriales simétricos. Damos un criterio sencillo para determinar si un ideal de polinomios carece de base incondicional. Utilizando dicho criterio mostramos que muchos de los ideales usuales no poseen estructura incondicional. Entre ellos, los r-integrales, r-dominados, extendibles y r-factorizables. Para muchos de estos ejemplos obtenemos incluso que la sucesión básica monomial no es incondicional. Estudiamos la preservación de otro tipo de estructuras en el producto tensorial simétrico: la estructura de álgebra de Banach y la estructura de M-ideal. Mostramos cuáles de las normas s-tensoriales de Grothendieck preservan la estructura de álgebra. Por otra parte, probamos que la norma inyectiva simétrica destruye la estructura de M-ideal (opuesto a lo que pasa en el producto tensorial completo con la norma inyectiva). Si bien dicha estructura se pierde en el caso simétrico, mostramos que, si E es Asplund y M-ideal en F, entonces los polinomios integrales sobre E se extienden a F preservando la norma de manera única.

Abstract:
This thesis aims to contribute to the development of the metric and isomorphic theory of symmetric tensor products on Banach spaces. We show several examples where the theory of polynomial ideals is enriched with the use of tensor techniques. We prove that the Aron-Berner extension preserves the norm for every maximal and minimal ideal of homogeneous polynomials. This result can be interpretated as a polynomial version of one of the “Five basic Lemmas” of the theory of tensor products. Moreover, we state and prove symmetric analogues of these lemmas and give, throughout the text, several applications. We study the injective and projective associates of a symmetric tensor norm, analyzing their properties and relations. We describe the maximal polynomial ideals associated with these norms in terms of composition ideals and quotient ideals. We examine Grothendieck’s natural norms on the n-fold symmetric tensor product and show that there are exactly six natural symmetric tensor norms for n ≥ 3, unlike the 2-fold case in which there are four. We define the symmetric Rad´on-Nikod´ym property for s-tensor norms and show, under certain hypothesis, that maximal polynomial ideals associated with norms with this property coincide isometrically with their minimal kernel. As a consequence, we prove the existence of certain structures on some classical polynomial ideals (existence of basis or the Rad´on- Nikod´ym property). On the other hand, we give an alternative proof of the fact that the ideal of integral polynomials coincide isometrically with the ideal of nuclear polynomials on Asplund spaces. We analyze the existence of unconditional basis on polynomial ideals. For this, we study unconditionality on symmetric tensor products. We provide a simple criterium to check wether a polynomial ideal lacks of unconditional basis. Using this criterium, we show that many usual polynomial ideals do not have unconditional structure. Among them we have the r-integral, r-dominated, extendible and r-factorable polynomials. For many of these examples we also get that the monomial basic sequence is not unconditional. We study the preservation of other kind of structures on the symmetric tensor product: the Banach algebra structure and the M-ideal structure. We show which of the Grothendieck’s natural symmetric tensor norms preserve the algebra structure. On the other hand, we prove that the injective s-tensor norm destroys theM-ideal structure (opposite to what happens in the full tensor product with the injective norm). Even though this structure is lost in the symmetric case, we show that, if E is Asplund and M-ideal in F, every integral polynomial in E has a unique norm preserving extension to F.

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Registro:
Título : Productos tensoriales simétricos: teoría métrica, isomorfa y aplicaciones     =    Symmetric tensor products: metric and isomorphic theory and applications
Autor : Galicer, Daniel E.
Director : Carando, Daniel G.
Consejero : Carando, Daniel G.
Jurados : Defant, Andreas  ; Larotonda, Gabriel  ; Maestripieri, Alejandra
Año : 2012
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5144_Galicer
Idioma : Inglés
Area Temática : Matemática / Álgebra
Palabras claves : PRODUCTOS TENSORIALES SIMETRICOS; NORMAS S-TENSORIALES; IDEALES DE POLINOMIOS; POLINOMIOS HOMOGENEOS; ESTRUCTURAS EN PRODUCTOS TENSORIALES; SYMMETRIC TENSOR PRODUCTS; S-TENSOR NORMS; POLYNOMIAL IDEALS; HOMOGENEOUS POLYNOMIALS; STRUCTURES IN TENSOR PRODUCTS
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