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Ver el documento (formato PDF)   Privitelli, Melina Lorena.  "Estimaciones y resultados de existencia de puntos racionales de variedades singulares sobre cuerpos finitos y aplicaciones"  (2014-07-15)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
El primer objetivo de esta tesis es proporcionar estimaciones y resultados de existencia de puntos racionales de intersecciones completas singulares definidas sobre el cuerpo finito Fq. Nuestros resultados se basan en la obtención de nuevas versiones efectivas del segundo teorema de Bertini que garantizan la existencia de secciones lineales no singulares de una variedad singular, definidas sobre Fq. Así, aplicando la conocida estimación de P. Deligne para variedades no singulares, obtenemos estimaciones y resultados de existencia para intersecciones completas cuyo lugar singular tiene codimensión al menos dos o tres. Dichas estimaciones se expresan en términos de la dimensión del lugar singular, el grado y la dimensión de la variedad. Además, proporcionamos una versión explícita de la estimación de Hooley para variedades singulares. En la segunda parte de este trabajo aplicamos nuestras estimaciones a dos problemas concretos de teoría de códigos y combinatoria. En ambos casos las variedades involucradas son intersecciones completas simétricas, es decir, están definidas por polinomios invariantes bajo la acción del grupo de permutaciones de sus coordenadas. Es por esto que, en primer lugar, estudiamos las propiedades geométricas de dichas variedades, más concretamente la dimensión del lugar singular de las mismas. El problema de teoría de códigos que abordamos es el de determinar la existencia de deep holes en un código de Reed-Solomon estándar. En lo que respecta a problemas de combinatoria, analizamos el comportamiento del valor promedio del conjunto de valores (o “value set”) de ciertas familias de polinomios definidas sobre Fq. En ambos casos, mejoramos los resultados existentes en la literatura.

Abstract:
The first aim of this thesis is to obtain estimates and existence results for rational points of singular complete intersections defined over a finite field Fq. Our results rely on obtaining new effective versions of the second Bertini theorem. This theorem asserts that there exists a nonsingular linear section defined over Fq of a singular variety defined over Fq. Thus, by applying the well known Deligne estimate, we provide estimates and existence results for rational points of singular complete intersections for which the singular locus has codimension at least two or three. Our estimates are expressed in terms of the dimension of the singular locus, the degree and the dimension of the variety. Furthermore, we obtain an explicit version of the Hooley estimate for singular complete intersections. In the second part of this thesis we apply our estimates to concrete problems of coding theory and combinatorics. In both cases, the varieties under consideration are symmetric complete intersections, namely, they are defined by polynomials which are invariant under the action of the group of permutations of their coordinates. Hence, we first study some geometric properties of symmetric complete intersections; more precisely, we obtain information about the dimension of the singular locus of these varieties. Concerning coding theory, we study the existence of deep holes of the standard Reed-Solomon code. With respect to combinatorics, we analyze the average value set of families of univariate polynomials with coefficients in Fq. In both cases, we improve the existing results in the literature.

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Registro:
Título : Estimaciones y resultados de existencia de puntos racionales de variedades singulares sobre cuerpos finitos y aplicaciones     =    Estimates and existence results for rational points of singular varieties over a finite field and applications
Autor : Privitelli, Melina Lorena
Director : Matera, Guillermo
Consejero : Solernó, Pablo
Jurados : Krick, Teresa  ; Panario, Daniel  ; Rossetti, Juan Pablo
Año : 2014-07-15
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Universidad Nacional de General Sarmiento
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5561_Privitelli
Idioma : Español
Area Temática : Matemática / Álgebra
Palabras claves : INTERSECCIONES COMPLETAS SINGULARES SOBRE CUERPOS FINITOS; PUNTOS RACIONALES; SEGUNDO TEOREMA DE BERTINI; VARIEDADES DEFINIDAS POR POLINOMIOS SIMETRICOS; CODIGO DE REED-SOLOMON ESTANDAR; DEEP HOLES; CONJUNTO DE VALORES PROMEDIO DE POLINOMIOS UNIVARIADOS SOBRE CUERPOS FINITOS; SINGULAR COMPLETE INTERSECTIONS DEFINED OVER A FINITE FIELD; RATIONAL POINTS; SECOND BERTINI´S THEOREM; VARIETIES DEFINED BY SYMMETRIC POLYNOMIALS; STANDARD REED-SOLOMON CODE; DEEP HOLES; AVERAGE VALUE SET OF UNIVARIATE POLYNOMIALS
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