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Ver el documento (formato PDF)   Déboli, Alberto Fernando.  "Métodos topológicos para algunas ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales"  (2014-12-10)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En esta tesis se estudia la existencia de soluciones de dos ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales. Por un lado, se estudia existencia de al menos una solución de un problema de segundo orden con condiciones de Neumann bajo diferentes condiciones impuestas a la no linealidad, con la particularidad de que ésta depende de los valores de la solución desconocida en el borde del dominio. Más precisamente, se prueba la existencia de al menos una solución adaptando a este tipo de problemas las condiciones clásicas de Landesman-Lazer para el caso escalar y para el caso de un sistema, la condición de Nirenberg. Por otro lado, se estudia un problema de primer orden con una no linealidad que depende de varios retardos variables. Más precisamente, se prueba un resultado de existencia de al menos una solución periódica positiva para el caso escalar y para un sistema, y un resultado de estabilidad generalizando los obtenidos por otros autores. En todos los problemas estudiados, las no linealidades están condicionadas en sus argumentos y se trata de problemas resonantes en el sentido de que el operador lineal de diferenciación involucrado tiene núcleo no trivial. El principal método que se implementa, en cada caso, para probar existencia de solución se basa en la teoría del grado de coincidencia de Mawhin, el cual es una generalización del grado topológico de Leray Schauder. No obstante, existen problemas resonantes en los que el grado de coincidencia no se aplica; el problema de segundo orden bajo condiciones de Neumann en un dominio no acotado es un caso particular de ese tipo y se aborda recurriendo al método de las sub y super soluciones ordenadas combinado con un argumento del tipo diagonal.

Abstract:
In this work, we study the existence of solutions of two nonlinear resonant ordinary functional differential equations. In the first place, we consider an abstract second order problem under Neumann boundary conditions arising on an electro-diffusion model. This problem has the particularity that the nonlinear term depends on the Dirichlet values of the yet-to-be-determined solution. We shall prove the existence of solutions by adapting the classical Landesman-Lazer conditions for the scalar case, and a condition by Nirenberg for a system of equations. In the second place, we study a first order Nicholson type equation with several delays. We shall prove the existence of a positive periodic solution both for the scalar equation and for a system. Also, we shall prove an stability result. In both cases, the nonlinear term is a functional operator and the problems are resonant in the sense that the associated linear operators have nontrivial kernel. Our main tool for proving existence of solutions shall be Mawhin’s coincidence degree, which is a generalization of Leray-Schauder degree. There are, however, some cases in which this theory cannot be applied: for example, the case of a boundary value problem on the half-line, for which we adapt the method of upper and lower solutions combined with a diagonal argument.

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Registro:
Título : Métodos topológicos para algunas ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales     =    Topological methods for some resonant nonlinear functional differential equations
Autor : Déboli, Alberto Fernando
Director : Amster, Pablo
Consejero : Amster, Pablo
Jurados : Fernández Bonder, Julián  ; Turner, Cristina  ; Castro, Alfonso
Año : 2014-12-10
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5620_Deboli
Idioma : Español
Area Temática : Matemática / Ecuaciones Diferenciales
Palabras claves : ECUACIONES DIFERENCIALES FUNCIONALES RESONANTES NO LINEALES; PROBLEMAS DE CONTORNO; GRADO DE COINCIDENCIA; METODO DE SUB Y SUPER SOLUCIONES ORDENADAS; METODO DIAGONAL DE CANTOR; CONDICIONES DE TIPO LANDESMAN-LAZER; CONDICION DE NIRENBERG; ECUACIONES DIFERENCIALES CON RETARDO; SOLUCIONES PERIODICAS POSITIVAS; ATRACTOR GLOBAL; NONLINEAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS; BOUNDARY VALUE PROBLEMS; COINCIDENCE DEGREE; UPPER AND LOWER SOLUTIONS; CANTOR´S DIAGONAL METHOD; LANDESMAN-LAZER CONDITIONS; NIRENBERG CONDITIONS; DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS; POSITIVE PERIODIC SOLUTIONS; GLOBAL ATTRACTOR
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