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Ver el documento (formato PDF)   Capitelli, Nicolás Ariel.  "Variedades combinatorias no homogéneas y dualidad de Alexander"  (2014-12-05)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En esta Tesis introducimos la teoría de NH-variedades, una extensión de la teoría clásica de variedades combinatorias al contexto no homogéneo. Las NH-variedades poseen una estructura local que consiste en versiones simpliciales de espacios euclídeos de distintas dimensiones, lo que les confiere propiedades muy parecidas a las de las variedades usuales. Nuestro trabajo permite extender los resultados principales de la teoría clásica de variedades a una clase mucho más amplia de espacios; entre estos resultados, el teorema de expansiones regulares de Alexander y la existencia de entornos regulares. A lo largo de esta Tesis exhibimos muchos ejemplos de espacios que forman parte de esta teoría pero no están incluidos en la teoría clásica. Introducimos también la noción de shelling no homogéneo y caracterizamos todas las NH-variedades shellables en el sentido de Björner y Wachs. La teoría de NH-variedades puede aplicarse al estudio de variedades clásicas y lo exhibimos en el caso concreto de la factorización de operaciones simpliciales entre variedades combinatorias (starrings, shellings y bistellar moves). En particular, se muestra que dos variedades son PL-homeomorfas si y sólo si pueden relacionarse por medio de NH-factorizaciones involucrando una sucesión de NH-variedades. En la segunda parte del trabajo analizamos la relación entre la teoría clásica y la no homogénea en el contexto de la dualidad de Alexander combinatoria. Estudiamos el dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias y mostramos que los doble duales de estos complejos son NH-bolas y NH-esferas, las versiones no homogéneas de las bolas y esferas clásicas. Además, definimos la noción de NH-bola y NH-esfera minimal, bolas y esferas no puras que satisfacen una condición de minimalidad en la cantidad de símplices maximales. Las NH-bolas y NH-esferas minimales caracterizan completamente la clase del simplex y del borde del simplex en la relación de equivalencia generada por tomar dual de Alexander. Uno de los resultados principales de este trabajo es la generalización al contexto no homogéneo de los resultados de Dong y Santos-Sturmfels sobre el tipo homotópico del dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias: el dual de Alexander de una NH-bola es un espacio contráctil y el dual de Alexander de una NH-esfera es homotópicamente equivalente a una esfera. Nuestra generalización muestra que el tipo homotópico del dual de Alexander es preservado para una clase mucho más amplia de espacios que los contemplados en los resultados originales de Dong y Santos-Sturmfels. Por ejemplo, incluye todas las NH-bolas y NH-esferas exhibidas (explícita o implícitamente) en esta Tesis.

Abstract:
In this Thesis we introduce the theory of NH-manifolds, an extension of the classical theory of combinatorial manifolds to the non-homogeneous setting. NH-manifolds have a local structure consisting of simplicial versions of euclidean spaces of different dimensions, giving them features very similar to those of polyhedral manifolds. In our work we extend the main results from the classical theory of manifolds to a larger class of spaces; among these results, the Alexander's theorem on regular expansions and the existence of regular neighbourhoods. Throughout this Thesis we present many examples of spaces which are part of this theory but are not included in the classical theory. We also introduce the notion of non pure shelling and characterize all shellable NH-manifolds in the sense of Bjorner and Wachs. The theory of NH-manifolds can be applied to the study of classical manifolds. This is exhibited in the concrete case of factorization of simplicial moves between combinatorial manifolds (starrings, shellings and bistellar moves). In particular, it is shown that two manifolds are PL-homeomorphic if and only if they are related through NH-factorizations involving a sequence of NH-manifolds. In the second part of this work we analyze the relation between the classical and the non-pure theory within the context of combinatorial Alexander duality. We study the Alexander dual of combinatorial balls and spheres and show that the double duals of these classes of complexes are NH-balls and NH-spheres, the non-homogeneous versions of classical balls and spheres. We also define the notion of minimal NH-ball and NH- sphere, a subfamily of non-pure manifolds satisfying a minimality condition on the number of maximal simplices. Minimal NH-balls and NH-spheres completely characterize the class of the simplex and the boundary of the simplex in the equivalence relation generated by taking Alexander dual. One of the main results of this Dissertation is a generalization to the non-homogeneous setting of the results of Dong and Santos-Sturmfels on the homotopy type of the Alexander dual of combinatorial balls and spheres: the Alexander dual of an NH-ball is a contractible space and the Alexander dual of an NH-sphere is homotopically equivalent to a sphere. Our generalization shows that the homotopy type of the Alexander dual is preserved for a far larger class of spaces than the original results by Dong and Santos-Sturmfels. For example, all NH-balls and NH-spheres exhibited (explicitly or implicitly) in this Thesis are included.

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Registro:
Título : Variedades combinatorias no homogéneas y dualidad de Alexander     =    Non-homogeneous combinatorial manifolds and Alexander duality
Autor : Capitelli, Nicolás Ariel
Director : Minian, Elías Gabriel
Consejero : Minian, Elías Gabriel
Jurados : Feichtner-Kozlov, Dmitry  ; Lauret, Jorge  ; Dickenstein, Alicia
Año : 2014-12-05
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5635_Capitelli
Idioma : Español
Area Temática : Matemática / Topología
Palabras claves : COMPLEJOS SIMPLICIALES; VARIEDADES COMBINATORIAS; N H-VARIEDADES; DUALIDAD DE ALEXANDER; SHELLABILIDAD NO HOMOGENEA; DUAL DE ALEXANDER; SIMPLICIAL COMPLEXES; COMBINATORIAL MANIFOLDS; N H-MANIFOLDS; ALEXANDER DER DUALITY; NON-PURE SHELLABILITY; ALEXANDER DUALS
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