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Ver el documento (formato PDF)   Cerdeiro, Manuela A..  "Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT"  (2015-07-06)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
Este trabajo se centra en el estudio de la conjetura de Whitehead y de la asfericidad de los complejos LOT, aplicando nuevos métodos y herramientas basados principalmente en la teoría de espacios topológicos finitos. Sea L un complejo asférico de dimensión 2. Los subcomplejos de L son también asféricos? Esta pregunta fue formulada por J. H. C. Whitehead en 1941 , y todavía no tiene respuesta. Entre los avances más importantes en este tema está el teorema de J. Howie a partir del cual el problema se separa en dos casos donde se consideran, respectivamente, complejos compactos y no compactos . A partir de este resultado, traducimos el caso compacto al contexto de los espacios finitos, y podemos atacar el problema con un enfoque nuevo, distinto de las estrategias aplicadas hasta ahora. Los complejos LOT (labeled oriented tree) aparecen en el estudio de ciertas variedades que surgen como complementos de los llamados ribbon discs. Howie probó que si un complejo se 3-deforma a un punto, entonces el subcomplejo que surge de quitarle una 2-celda se 3-deforma a un complejo LOT . Es por esto que los complejos LOT forman un nexo entre la conjetura de Whitehead y la conjetura de Andrews-Curtis. Por otro lado, todo complejo LOT se puede ver como subcomplejo de un complejo contráctil. Es por esto que los complejos LOT son considerados casos testigos de la conjetura de Whitehead. La teoría de espacios finitos comenzó en los años 30 con un trabajo de P. S. Alexandroff donde se los relaciona con los conjuntos parcialmente ordenados (posets) finitos . Esta teoría tuvo un avance importante en el a~no 1966 con el trabajo de M. C. McCord a partir del cual se constituyen como modelos combinatorios de poliedros . En los últimos años, J. A. Barmak y E. G. Minian hicieron importantes avances en esta teoría. Entre otros aportes, desarrollaron la teoría de homotopía simple para espacios finitos, y aplicaron los espacios finitos al estudio de las conjeturas de Quillen y de Andrews-Curtis . En este trabajo desarrollamos nuevos métodos combinatorios de espacios finitos, diseñados espacialmente para el estudio de la asfericidad. Probamos la validez de la conjetura para dos amplias familias de poliedros compactos: los cuasi construibles contráctiles, y los fuertemente asféricos. Utilizando resultados recientes de Barmak y Minian sobre G- coloreos de posets, obtenemos una descripción eficiente del segundo grupo de homotopía de un complejo LOT, como un submódulo de un módulo libre, con generadores indexados por las aristas, y ecuaciones indexadas por los vértices. A partir de esta descripción, hallamos un método para el análisis de la asfericidad de estos complejos. Con este nuevo método se obtenemos resultados sobre la asfericidad de importantes familias de LOTs. Palabras clave: CW-complejos, asfericidad, complejos LOT, espacios topológicos finitos, métodos de reducción.

Abstract:
This work is focused on the study of the Whitehead conjecture and the asphericity of LOT complexes, by applying new methods based on the theory of finite topological spaces. Is every subcomplex of an aspherical, two-dimensional complex itself aspherical? This question was stated by J. H. C. Whitehead in 1941 , and it sill hasn't been answered. Using a result of J. Howie one can treat separately the compact and the non-compact case (both are open and interesting). We concentrate on the compact case using, among other tools, methods of the theory of finite topological spaces. LOT complexes appear in the study of certain manifolds that arise as complements of the so called ribbon discs. Howie proved that if a CW-complex can be 3-deformed to a point, then the subcomplex obtained by eliminating a 2-cell can be 3-deformed to a LOT complex . This is why these complexes constitute a link between the Whitehead conjecture and the Andrews-Curtis conjecture. On the other hand, every LOT complex can be seen as a subcomplex of a contractible complex. This is why LOT complexes are considered test cases for the Whitehead conjecture. The theory of finite spaces started in 1937 with a work of P. S. Alexandroff, who related them with finite partially ordered sets (posets) . This theory had an important breakthrough in 1966 with the work of M. C. McCord, which established them as combinatorial models for compact polyhedra . In the last few years, J. A. Barmak and E. G. Minian made important advances in this theory. Among other contributions, they developed the simple homotopy theory of finite spaces, and applied methods of finite spaces to the study of the conjecture of Quillen and to the Andrews-Curtis conjecture . In the present work we develop new combinatorial methods of finite spaces, specially designed for the study of asphericity. We prove the validity of the conjecture for two large families of compact polyhedra: the contractible quasi-constructible complexes, and the strong aspherical complexes. Making use of recent results of Barmak and Minian about G-colorings of posets, we obtain an efficient description of the second homotopy group of a LOT complex, as a submodule of a free Z-module, with generators indexed by the edges, and equations indexed by the vertices. Using this description, we find a method for the analysis of the asphericity of these complexes. With these new methods we obtain results about the asphericity of important families of LOTs. Kew words: CW-complexes, asphericity, LOT complexes, finite topological spaces, reduction methods.

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Registro:
Título : Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT     =    A new approach to the Witehead conjecture and the asphericity of LOT complexes
Autor : Cerdeiro, Manuela A.
Director : Minian, Elías Gabriel
Jurados : Dubuc, Eduardo  ; Porter, timothy  ; Tirao, Paulo
Año : 2015-07-06
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5777_Cerdeiro
Idioma : Español
Area Temática : Matemática / Topología
Palabras claves : CW-COMPLEJOS; ASFERICIDAD; COMPLEJOS LOT; ESPACIOS TOPOLOGICOS FINITOS; METODOS DE REDUCCION; CW-COMPLEXES; ASPHERICITY; LOT COMPLEXES; FINITE TOPOLOGICAL SPACES; REDUCTION METHODS
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