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Ver el documento (formato PDF)   Moreno, Verónica.  "Interpolación en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos y su aplicación a estimaciones de error a posteriori para la versión p del método de elementos finitos"  (2015-06-26)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En esta tesis analizamos estimaciones de error a posteriori para la versión p del método de elementos finitos (FEM). En primer lugar, mostramos las diferencias que surgen entre el caso unidimensional y bidimensional, al considerar indicadores de error de tipo residual para el problema de Poisson con datos de borde de tipo Dirichlet homogéneos. Mientras que en el caso unidimensional, usando indicadores de error con pesos, se obtienen estimaciones a posteriori para la versión hp de FEM con constantes de equivalencia con la norma energía del error independientes de h y de p [DH], aún no se tienen resultados análogos en más dimensiones. En efecto, las técnicas utilizadas en [DH] no pueden simplemente generalizarse al caso bidimensional y, hasta el momento, para estimadores de tipo residual no se ha podido demostrar que los estimadores propuestos sean equivalentes a la norma energía del error con constantes de equivalencia independientes de p, i.e., del grado del polinomio involucrado. Sin embargo, en esta tesis mostramos que estimaciones de error a posteriori casi-óptimas se pueden obtener si trabajamos en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos. Usualmente para hacer un análisis a posteriori del método de elementos finitos se necesitan estimaciones de interpolación para funciones en espacios de Sobolev, así como estimaciones inversas para funciones polinomiales. Por lo tanto, para construir un interpolador en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos, introducimos primeramente los polinomios de Jacobi y mostramos sus propiedades para luego llevar a cabo un análisis pormenorizado de la dependencia, tanto del grado del polinomio como del peso, de las constantes involucradas en nuestras estimaciones. Presentamos también un análisis de las estimaciones inversas presentes en la bibliografía, con especial cuidado en estudiar como dependen las constantes del peso que se este considerando. Posteriormente, para el problema modelo de Poisson en dos dimensiones, proponemos un estimador con pesos para la versión p de FEM, y utilizando nuestros resultados de interpolación y las estimaciones inversas, mostramos que estos estimadores son equivalentes al error en alguna norma adecuada, con constantes óptimas en p. Finalmente, mostramos como nuestros resultados se pueden generalizar a la versi´on hp de FEM.

Abstract:
In this thesis we analyse a posteriori error estimations for the p version of the finite element methods (FEM). First, we show the differences that arise between the onedimensional and bidimensional cases when we consider error indicators of the residual type for the Poisson problem with Dirichlet homogeneous boundary data. While in the onedimensional case, using weighted error indicators, we can obtain a posteriori estimations for the hp version of FEM with equivalence constant with the energy norm independents of h and p [DH], no analogous results have been obtained hitherto in more dimensions. In effect, the techniques used in [DH] can not simply be generalized to the bidimensional case, and for the error estimators of the residual type it can not be demonstrated as yet that the proposed estimators are equivalent to the energy norm of the error with equivalence constants independents of p, i.e., of the polynomial degree involved. However, in this thesis we show that quasi optimal a posteriori error estimations can be obtained if we work in Jacobi-weighted Sobolev spaces. Usually, for an a posteriori error analysis of the finite element methods we need interpolation estimates for functions in Sobolev spaces, and inverse estimates for polynomial functions. Therefore, in order to construct an interpolator in Jacobi-weighted Sobolev spaces, first we introduce the Jacobi polynomials and show their properties so as to carry out a detailed analysis of the dependence, of the polynomial degree and the weight, in the constants that are involved in our estimates. We also present an analysis of the inverse estimates that are present in the bibliography, studying with special care how the constants depend on the weight that we are considering. Later, for the two dimensional Poisson model problem, we propose a weighted estimator for the p version of FEM, and using our interpolation results and inverse estimates we show that these estimators are equivalents to the error in some appropriate norm, with optimal constants in p. Finally, we show how that our results can be generalized to the hp version of FEM.

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Registro:
Título : Interpolación en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos y su aplicación a estimaciones de error a posteriori para la versión p del método de elementos finitos     =    Interpolation in Jacobi-weighted Sobolev spaces and its application to a posteriori error estimations of the p version of the finite element method
Autor : Moreno, Verónica
Director : Armentano, María Gabriela
Consejero : Armentano, María Gabriela
Jurados : Morin, Pedro  ; Meddahi, Salim  ; Lombardi, Ariel
Año : 2015-06-26
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló" (IMAS)
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5791_Moreno
Idioma : Español
Area Temática : Matemática / Análisis Numérico
Palabras claves : ESPACIOS DE JACOBI-SOBOLEV CON PESOS; METODOS P Y HP DE ELEMENTOS FINITOS; ESTIMACIONES DE ERROR A POSTERIORI; JACOBI-WEIGHTED SOBOLEV SPACES; P AND HP FINITE ELEMENT METHODS; A POSTERIORI ERROR ESTIMATES
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