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Ver el documento (formato PDF)   Descotte, María Emilia.  "Una teoría de 2-pro-objetos, una teoría de 2-categorías de 2-modelos y la estructura de 2-modelos para 2-Pro (C)"  (2015-07-07)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
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Resumen:
En los 60, Grothendieck desarrolla la teoría de pro-objetos de una categoría. La propiedad fundamental de Pro(C) es que se tiene un embedding C→Pro(C), Pro(C) tiene límites cofiltrantes peque˜nos, y estos son libres en el sentido de que para cualquier otra categoría E con límites cofiltrantes peque˜nos, la precomposición con c determina una equivalencia de categorías Cat(Pro(C); E)+ ≈ Cat(C; E), (el “+” indica la subcategoría plena formada por los funtores que preservan límites cofiltrantes). En este trabajo, desarrollamos la teoría de pro-objetos “2-dimensional”. Dada una 2-categoría C, definimos la 2-categoría 2-Pro(C) cuyos objetos llamamos 2-pro-objetos. Probamos que 2-Pro(C) tiene todas las propiedades b´asicas esperadas relativizadas adecuadamente al caso 2-categórico, incluyendo la propiedad universal correspondiente. Damos una definición de “closed 2-model 2-category” adecuada y demostraciones de sus propiedades básicas. Dejamos para un trabajo futuro la construcción de su categoría homotópica. Finalmente, probamos que nuestra 2-categoría 2-Pro(C) tiene una estructura de “closed 2-model 2-category” si C la tiene. Parte de la motivación de este trabajo fue desarrollar un contexto teórico para manipular el nervio de Čech en teoría de homotopía, , en particular en teoría de la forma fuerte, . El nervio de Čech está indexado por las categorías de cubrimientos e hipercubrimientos con morfismos dados por los refinamientos, que no son categorías filtrantes pero sí determinan 2-categorías 2-filtrantes en las cuales el nervio de Čech también está definido, manda las 2-celdas en homotopías, y determina un 2-pro-objeto sobre los conjuntos simpliciales. Usualmente, el nervio de Čech debe ser considerado como un 2-pro-objeto en la categoría homotópica, perdiendo la información codificada en las homotopías explícitas.

Abstract:
In the sixties, Grothendieck developed the theory of pro-objects over a category. The fundamental property of the category Pro(C) is that there is an embedding C→Pro(C), Pro(C) is closed under small cofiltered limits, and these are free in the sense that for any category E closed under small cofiltered limits, pre-composition with c determines an equivalence of categories Cat(Pro(C); E)+ ≈ Cat(C; E), (the “+” indicates the full subcategory of the functors that preserve cofiltered limits). In this work we develop a “2-dimensional” pro-object theory. Given a 2-category C, we define the 2-category 2-Pro(C) whose objects we call 2-pro-objects. We prove that 2-Pro(C) has all the expected basic properties adequately relativized to the 2-categorical setting, including the corresponding universal property. We give an adecuate definition of closed 2-model 2-category and demonstrations of its basic properties. We leave for a future work the construction of its homotpy 2-category. Finally, we prove that our 2-category 2-Pro(C) has a closed 2-model 2-category structure provided that C has one. Part of the motivation of this work was to develop a conceptual framework to handle the Čech nerve in homotopy theory, , in particular in strong shape theory, . The Čech nerve is indexed by the categories of covers and of hypercovers, with cover refinments as morphisms, which are not filtered categories, but determine 2-filtered 2-categories on which the Čech nerve is also defined, sends 2-cells into homotopies, and determines a 2-pro-object of simplicial sets. Usually, the Čech nerve has to be considered as a pro-object in the homotopy category, loosing the information encoded in the explicit homotopies.

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Registro:
Título : Una teoría de 2-pro-objetos, una teoría de 2-categorías de 2-modelos y la estructura de 2-modelos para 2-Pro (C)     =    A theory of 2-pro-objects, a theory of 2-model 2-categories and the 2-model structure for 2-Pro (C)
Autor : Descotte, María Emilia
Director : Dubuc, Eduardo J.
Consejero : Dubuc, Eduardo J.
Jurados : Menni, Matías  ; Lack, Stephen  ; Minian, Gabriel
Año : 2015-07-07
Editor : Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Filiación : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas. Instituto de Investigaciones matemáticas "Luis A. Santaló"
Grado obtenido : Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas
Ubicación : Preservación - http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5805_Descotte
Idioma : Inglés
Area Temática : Matemática / Álgebra
Palabras claves : 2-PRO-OBJETO; 2-FILTRANTE; PSEUDO-LIMITE; BI-LIMITE; 2-CONFINAL; 2-CATEGORIA DE 2-MODELOS; 2-PRO-OBJECT; 2-FILTERED; PSEUDO-LIMIT; BI-LIMIT; 2-CONFINAL; 2-MODEL 2-CATEGORY
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